Решение квадратных уравнений
Главная » Статьи » Математика

Решение квадратных уравнений

Общий вид и решение через дискриминант

В общем виде квадратное уравнение выглядит так:

Например, в этом уравнении a = 3, b = 5, c = 2:

Как правило, квадратное уравнение предлагается школьнику затем, чтобы он нашел его корни, т.е. значения Х, при которых уравнение обращается в верное равенство.

Любому школьнику должен быть знаком способ решения квадратного уравнения через дискриминант. Согласно этому способу сначала находится величина, называемая дискриминантом:

После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.

1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня - X1 и X2.

В этом случае корни вычисляются по формулам:

Или иногда пишут так:

2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень Х, который вычисляется по формуле:

Правда, на самом деле это небольшое упрощение. Уравнение с дискриминантом равным нулю, имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.

3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней (и именно это нужно написать в ответе).

Решение через дискриминант - универсальный способ. Им можно решить любое квадратное уравнение. Но в некоторых ситуациях быстрее и удобнее решать другими способами.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть неполным. В этом случае b или c (или и то, и другое) равны нулю. Например:

Эти уравнения тоже можно решать через дискриминант. Не смущайся, что в формулу придется подставлять нули.

Но обычно неполные квадратные уравнения решают иначе. Рассмотрим пример:

Вынесем Х за скобки:

Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю. То есть уравнение обращается в верное равенство, когда:

1) X = 0,

2) X - 9 = 0, откуда следует, что X = 9 .

Корни уравнения: X1 = 0, X2 = 9.

Разберем другой пример:

Переносим -16 в правую часть уравнения (не забыв поменять знак на противоположный):

Отсюда:

Квадратных корней из 16, как известно, два: 4 и -4. Это и есть корни уравнения: X1 = 4, X2 = -4.

Из примеров видно, что неполные квадратные уравнения решаются двумя способами:

1) вынесением Х за скобки,

2) перенесением числа С в правую часть уравнения (со сменой знака!).

Приведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным. В этом случае A=1. Например:

Общий вид приведенного квадратного уравнения:

Обратите внимания, что в приведенном квадратном уравнении коэффициенты обозначаются не a и b, а p и q. Это важно, не путайте.

Такие уравнения тоже можно решать через дискриминант (при этом a=1), но для них существует и другой способ решения: по теореме Виета.

Эта теорема гласит:

Зная эти соотношения, можно подобрать такие числа, которые будут корнями уравнения. Но для этого нужно не ошибаться при счете в уме. :)

Кстати, запомнить теорему Виета помогает вот такой стишок:

Познакомили поэта
С теоремою Виета.
Оба корня он сложил,
минус p он получил,
а корней произведенье
дает q из уравнения.

Приведение квадратного уравнения

"Приведение" от слова "привёл". Не путай с привидением. :)

Обычное квадратное уравнение вида

можно сделать приведенным, если разделить все три члена (aX2, bX и c) на a. Тогда (и только тогда!) уравнение можно будет решать по теореме Виета. Имеет смысл приводить уравнение, если b и c делятся на a нацело (без остатка). Если же без остатка не делятся, то лучше решать через дискриминант.

Заключение

Теперь, набравшись знаний о квадратных уравнениях, вы можете отправляться в специальную комнату для квадратных уравнений нашего "Тренажерного зала" и отработать навыки их решения.

Категория: Математика | Добавил: Орк (24.01.2012)
Просмотров: 118855 | Комментарии: 27 | Теги: Тренажеры, квадратные уравнения, математика | Рейтинг: 2.8/22

Читайте также:

Всего комментариев: 271 2 3 »
1 Екатерина   (08.03.2012 17:20)
В начале там написанно не правильно
там a=3 b=5 c=2

2 Орк   (08.03.2012 18:26)
Большое спасибо, Екатерина! smile Опечатку исправил.

3 Борис   (18.03.2012 12:55)
В пособии Корянова предлагается такое указание к решению и ответ а=-3, S=18.

Однако при `a=-3` дискриминант равен нулю, значит, квадратное уравнение имеет единственный корень?

4 Борис   (18.03.2012 12:56)
Что же Вы говорите, что если дискриминант равен 0, то корень один. Это же противоречит основной теореме алгебры( в нормальных школах это изучают). Во, вторых, как же ученики будут решать задачи ЕГЭ, подобные следующей???
Задача С5 ЕГЭ.
При каких значениях параметра `a` сумма `S` квадратов корней уравнения
`x^2+2ax+2a^2+4a+3=0`
является наибольшей? Чему равна эта сумма?
Ответ: Борис, а по вашему мнению, сколько корней, если дискриминант равен нулю?

5 Борис   (19.03.2012 10:50)
У меня нет и не может быть собственного мнения по этому поводу. Есть мнение основной теоремы алгебры.
Вот запрос и ответ экспертов ЕГЭ. А вот мой запрос и ответ экспертов ЕГЭ
Sent: Sunday, November 22, 2009 1:15 PM
To: info@mathege.ru
Subject: ЕГЭ

Встретилась задача: при каких значениях параметра р сумма чисел, обратных
корням уравнения х^2 -4х +р =0, равна 1. Применив теорему Виета, получил р
=4.Репетиторы из «Ваш репетитор» говорят, что при дискриминанте, равном 0, теорема Виета
не работает - уравнение имеет только один корень. Какой же ответ в этой
задаче?????—

Здравствуйте, Борис!

Квадратное уравнение всегда имеет два корня, независимо от знака
дискриминанта. Может быть так, что эти два корня совпали и равны одному
числу, но от этого их не стало меньше.
Вы правы: ответ - 4. Спасибо.

6 Орк   (19.03.2012 14:14)
Если речь идет о двух равных корнях, то для школьников часто упрощают и говорят об одном. Это упрощение часто встречается на уроках математики, и мне кажется, оно вполне обосновано. Ведь квадратные уравнения начинают решать еще школьники среднего звена, которые понятия не имеют об основной теореме алгебры.

Учебников сейчас под рукой нет, но вот, допустим, та же Википедия, статья "Квадратные уравнения": "при D=0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях)"

А в анонсе этой статьи "Сколько будет" прямо сказано, что излагаются базовые сведения. Так, чтобы понял даже восьмиклассник. Старшеклассникам, сдающим ЕГЭ, в любом случае понадобится более глубокая подготовка. Этот сайт не готовит к решению С5, его цель не в этом. Поэтому и упрощение было сделано вполне сознательно.

Тем не менее, Борис, формально ваше замечание правильно, так что сейчас дополню статью. Спасибо за внимание к сайту и потраченное время. :-)

7 Мария   (18.07.2012 18:01)
СПАСИБО БОЛЬШОЕ!!!

8 Орк   (18.07.2012 20:56)
Всегда пожалуйста. )

9 Юля   (02.10.2012 21:31)
При каких значениях параметра `a` сумма `S` квадратов корней уравнения
`x^2+2ax+2a^2+4a+3=0`
является наибольшей? Чему равна эта сумма?

10 Орк   (02.10.2012 23:19)
Юля, вам сюда: http://repetitors.info/otvet/?t=14263
Там много сказано про эту задачу Корянова. И вот здесь тоже обсуждают: http://www.diary.ru/~eek/p151784933.htm
Вторая ссылка, пожалуй, даже поконкретнее.

11 АЛИЯ   (14.11.2012 21:05)
помогите решить дискриминант a (в квадрате) A-11A+28

12 сидор   (14.11.2012 23:45)
папа у васи силён в математике папа за васю решает весь год.где это видано где это слыхано папа решает а вася сдаёт.
АЛГЕБРА_ЦАРИЦА НАУК. посиди и самостоятельно мозги покрути пару часов- привыкли списывать-противно.

13 Сергей   (24.11.2012 14:54)
При каких значениях параметра а уравнение x^2- (2a-6)x +3a+9=0 имеет корни разных знаков?

14 НАСТЯ   (29.11.2012 23:33)
ПОМОГИТЕ УПРОСТИТЬ ВЫРАЖЕНИЕ: 2-7х-4х^=0

1-10 11-20 21-23
Имя *:
Email:
Код *:

Рейтинг@Mail.ru